PITÁGORAS
(Samos, Jonia, c. 580 - Metaponte, Lucania, c 500 a. C.) Filósofo y matemático griego. Hacia el año 530 se instaló en Crotona (Italia), donde fundó la escuela pitagórica, que llegó a convertirse en una asociación parcialmente religiosa, científica y filosófica, apoyada en la creencia de la inmortalidad del alma y la doctrina de la reencarnación, la práctica de la alimentación vegetariana y un sistema educativo basado en la gimnasia, las matemáticas y la música.
Las ideas y descubrimientos científicos de la escuela pitagórica han sido atribuidos tradicionalmente al fundador, por lo que no sabemos exactamente cuáles fueron suyos y cuáles de sus discípulos.
El concepto básico de los pitagóricos era el número, que consideran el principio de todo. Se les debe el teorema de Pitágoras, que afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Este teorema aparece enunciado por primera vez en los "Elementos de Euclides", pero ya se conocía desde mucho antes.
También se les atribuye el descubrimiento de los números irracionales (la inconmensurabilidad de la diagonal y el lado de un cuadrado), que parece haberse convertido en un secreto de la escuela, celosamente guardado.
Otro descubrimiento pitagórico fue la observación de que, cuando dos cuerdas de un instrumento musical vibran con sonidos armónicos, sus longitudes forman una relación expresada por números sencillos (como 1:2, 1:3, 2:3, etc.). Extendiendo este principio a los astros del sistema solar, afirmaron que las distancias de los planetas también forman las mismas relaciones, y que sus movimientos son armónicos, como las cuerdas, lo que dio origen a la idea de la "música de las esferas", que se mantuvo durante muchos siglos.
Anticipándose a su época, sostuvieron que la Tierra gira alrededor del Sol y éste, a su vez, en torno de un fuego central invisible. Los pitagóricos consiguieron gran influencia política en Magna Grecia (sur de Italia), lo que provocó reacciones contra ellos. La primera forzó a Pitágoras a abandonar Crotona y retirarse a Metaponte, donde se dice que se dejó morir de hambre, aunque hay otras versiones de su muerte.
ENSEÑANZA PITAGÓRICA
Fuente:Lista masónica Mandil, 15 septiembre, 2006
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ARMONÍA DEL COSMOS
Pocos filósofos y muchos menos han sido los científicos que hayan sabido encarnar sus enseñanzas con elementos sensibles con tanto acierto como Pitágoras. La famosa armonía de las esferas de la enseñanza pitagórica primitiva era mucho más profunda que la mera conjetura de la consonancia de las notas que los astros producen en su movimiento.
Para Pitágoras la visión fundamental consistió en que el universo es un cosmos, un todo ordenado y armoniosamente conjuntado. El destino del hombre consiste en considerarse a sí mismo como una pieza de este cosmos, descubrir el lugar propio que le está asignado y mantener en sí y en su entorno, en lo que está de su parte, la armonía que es debida de acuerdo con el orden natural de las cosas.
La armonía cósmica entendida en este sentido fue probablemente una audaz conclusión de madurez a la que Pitágoras llegó a través de la observación de la congruencia de sus consideraciones científicas sobre números, figuras, notas musicales, con las ideas orientales sobre el alma, los astros y la divinidad.
Los números constituían el armazón inteligible de las formas en la aritmética figurativa de los pitagóricos, construida por ellos mediante piedras (psefoi, cálculos). Al mismo tiempo los números desvelaban las proporciones que regían las consonancias musicales. ¿No era natural ver en el número el principio inteligible a través del cual el cosmos divino gobernado por el espíritu manifestaba al hombre su armonía interna?
Según cuenta Porfirio (Vita Pyth. 30-31) y Iámblico (Vita Pyth. 64-66) en un pasaje que toman de Nicómaco de Gerasa (ca 50-150 d. de C.), quien por su parte parece hacerse eco de fuentes pitagóricas antiguas, Pitágoras "dirigía su oído y su espíritu hacia las sublimes consonancias del cosmos gracias a una inefable capacidad divina difícil de imaginar. Con ello oía y entendía él solo, según explicaba, toda la armonía y el concierto de las esferas y los astros que en él se mueven".
La música era a la vez entre los pitagóricos el símbolo de la armonía del cosmos y un medio para lograr el equilibrio interno en el espíritu mismo del hombre.
EL JURAMENTO PITAGÓRICO
Bajo diversas formas se ha conservado una breve fórmula pitagórica de difícil interpretación que, según es de suponer, contenía algo muy cercano a la quinta esencia del espíritu pitagórico. En la versión más corriente reza así: "No, por Aquél que ha entregado a nuestras almas la Tetraktis, una fuente que contiene las raíces de la naturaleza eterna".
Al parecer constituye un juramento de secreto sobre el contenido de la enseñanza pitagórica, reservado a miembros de la comunidad exclusivamente. "Aquél", por supuesto, es Pitágoras mismo, a quien los pitagóricos primitivos no osaban nombrar. La Tetraktis, o cuaterna, consiste probablemente en los números 1,2,3,4, que conjuntamente solían representar los pitagóricos en esta forma figurativa
¿En qué sentido la Tetraktis podía ser "fuente de las raíces de la naturaleza eterna"?. Según parece, la Tetraktis alude a la iluminación pitagórica inicial y fundamental sobre las proporciones numéricas que rigen las notas musicales consonantes: el tono (1:1), la octava (1:2), la quinta (3:2) y la cuarta (4:3). Más adelante tendremos ocasión de considerar en detalle los experimentos musicales con cuerdas que pusieron de manifiesto tales proporciones. En la experiencia pitagórica esta observación debió de constituir el estímulo decisivo hacia la extrapolación cuasimística de que el cosmos es en algún modo alcanzable a través del número. Tal vez es en este sentido en el que se exalta la Tetraktis como fuente del conocimiento de las raíces de la armonía de la naturaleza eterna, en el cual se basa la existencia pitagórica.
Se puede uno preguntar: ¿cuál fue el sentido del secreto pitagórico que el juramento solemnemente impone?. Entonces, como hoy, el secreto compartido constituye un fuerte vínculo de conexión de los miembros de una comunidad reducida. La comunidad pitagórica llegó a tener una complicada organización interna, con largos períodos de noviciado, pruebas de silencio y de robustecimiento del espíritu a través de experiencias encaminadas a fomentar la humildad y la asimilación paulatina del espíritu pitagórico. Muchas de las doctrinas esotéricas de los pitagóricos se prestaban, fuera de su contexto total, a malentendidos que era conveniente evitar. Las mismas enseñanzas matemáticas cobraban probablemente un halo especial, colocadas dentro del ambiente de los iniciados pitagóricos, constituyendo para ellos un soporte de su camino de vida con un significado que va mucho más allá del carácter de mera curiosidad especulativa que podía constituir para los espectadores externos. Por otra parte, en la vida religiosa de la Grecia contemporánea a Pitágoras abundaban extraordinariamente los misterios o ceremonias asimismo secretas de iniciación y purificación progresiva, con la finalidad de provocar en el espíritu del iniciado un estado de veneración, fervor religioso y entusiasmo místico, llevadas a cabo en una parte oculta del templo. Los festivales nacionales de Delfos, Eleusis, incluían misterios celebrados con genuina exaltación religiosa. Parece muy probable que Pitágoras adoptase en la tarea de formación de sus adeptos los métodos y técnicas que había observado ser de gran eficacia..
Este rasgo secretista de la enseñanza pitagórica primitiva fue mitigado más adelante. El "No" rotundo del juramento aparece convertido en sí en los Versos Aureos, una compilación de enseñanzas pitagóricas escrita probablemente en el segundo o tercer siglo después de Cristo, teniendo a la vista fuentes mucho más antiguas, y destinada a expandir la doctrina pitagórica a todos los hombres.
He aquí algunas de sus consideraciones con más probabilidad de pertenecer al pitagorismo primitivo.
1. Honra ante todo a los dioses inmortales, como manda la ley, y observa el juramento.
2. Honra también a los nobles héroes y a los dioses del mundo inferior con las ofrendas prescritas.
3. ... acostúmbrate a ser señor ante todo de tu vientre, del sueño, de la lascivia y de la ira.
4. Nunca hagas nada vergonzoso ni con otros ni contigo mismo; sobre todo avergüénzate de ti mismo....
5. Hay dolores que llegan a los humanos por designio divino.
6. Por ello cuando la fatalidad te alcance, sopórtala y no la lleves mal. Remédiala, cuanto de tu parte esté y piensa 20. que el destino al que es bueno no le reserva mucho de ella.
7. No dejes que el sueño suave llegue a tus ojos. Antes de que hayas repasado en tu mente por tres veces cada una de tus acciones del día: "¿En qué he faltado? ¿Qué he hecho? ¿Qué he omitido?".
8. Comienza desde el principio y recórrelo todo.
9. Si has hecho algo mal, arrepiéntete; si has hecho algo bien, alégrate. Esto te conducirá por las huellas de la virtud divina.
10. Por Aquél que ha entregado a nuestra alma la Tetraktis. Fuente de la naturaleza eterna".
Inmortalidad Del Alma
Porfirio, en su biografía de Pitágoras (Vita Pyth. 19) transmite un testimonio de Dicaiarcos un alumno de Aristóteles, que resume las enseñanzas de Pitágoras en estos cuatro puntos:
(1) Que el alma es inmortal.
(2) Que las almas cambian su lugar, pasando de una forma de vida a otra.
(3) Que todo lo que ha sucedido retorna en ciertos ciclos y que no sucede nada realmente nuevo.
(4) Que hay que considerar todos los seres animados como emparentados entre sí.
La creencia pitagórica del origen divino del alma viene expresada en los versos áureos cno las siguientes palabras:
63. "Pero tú ten ánimo. De naturaleza divina son los mortales".
Este aspecto de la filosofía pitagórica aparece fuertemente emparentado con la mentalidad del orfismo, un movimiento religioso que, probablemente viniendo de oriente, se instaura en Grecia empezando por Tracia en siglo VI a. de C. La Grecia anterior al siglo VI tenía en los libros homéricos un equivalente de las escrituras sagradas de otros pueblos. El pensamiento de un alma inmortal es totalmente ajeno al espíritu griego antiguo. Pero al parecer esta situación cambió radicalmente a partir del siglo VI, muy posiblemente bajo la influencia de multitud de movimientos religiosos que procedentes de Persia, de la India ñyñ de Egipto, se asentaron en el mundo griego. De hecho el panorama de creencias religiosas es totalmente diferente en el siglo IV a. de C. El orfismo tenía a Dionisos como dios y a Orfeo como su sacerdote, reuniendo cierto sentido místico con una ascética de purificación. El espíritu humano procede de otro mundo y se encuentra como desterrado en este, encadenado al cuerpo por la sensualidad. Existe un mundo de acá y otro de más allá y la vida debe vivirse como una fuga de lo terreno.
Muy probablemente Pitágoras amalgamó elementos órficos con otros, posiblemente de origen persa, como el del eterno retorno que aparece mencionado en el punto 3 de Diocaiarcos, y con sus propias concepciones sobre la constitución del cosmos y sobre el modo concreto de purificación a través de la contemplación, dando primacía al elemento racional y matemático sobre el poético de aquellas cosmogonías primitivas, para producir una síntesis que resultó profundamente atrayente no sólo para sus contemporáneos, sino para los muchos movimientos de inspiración pitagórica durante más de diez siglos.
Al parecer, en el modo de vida de los pitagóricos primitivos la metafísica como tal era poco importante. Lo que verdaderamente importaba era la vida pura, concretada en la armonía del alma con el cosmos, que habría de concluir con la liberación del alma del círculo de reencarnaciones. Lo que importaba era la elevación del alma al cielo de los bienaventurados tras la muerte.
TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2 + b2 = c2
Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Teorema de Pitágoras generalizado
Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?
(Pinchando en los dibujos siguientes se accede a la comprobación numérica en las figuras que se representan)
DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas.
DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS
PITÁGORAS.
Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras.
A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad
a2 + b2 = c2
PLATÓN.
La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos.
EUCLIDES.
La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides.
Elementos de Euclides. Proposición I.47.
En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.
Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha.
La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color.
BHÂSKARA
¡ Mira !
PUZZLES PITAGÓRICOS.
A continuación se presentan algunas demostraciones visuales del teorema de Pitágoras en forma de puzzles. En todos ellos, las piezas en que se se han dividido los cuadrados construidos sobre los catetos, completan el cuadrado construido sobre la hipotenusa.
1.- Los siguientes disecciones son válidas para cualquier triángulo rectángulo.
Se han ordenado de menos a mayor número de piezas que lo forman.
1. Ozanam 2.- Perigal 3.-
4. Anaricio 5. Bhâskara 6.-
7.- 8.-
2.- Los puzzles siguientes sólo son validos en el caso de que el triángulo rectángulo inicial sea el que se indica.
Triangulo Rectángulo Isósceles
Triangulo rectángulo 3,4,5 Cateto mayor / cateto menor = 2
Hipotenusa /cateto menor =3 Hipotenusa/cateto menor = 2
3.- Finalmente, dos puzzles especialmente interesantes. No solo prueban el teorema de Pitágoras, también el del cateto.
Son validos para triángulos rectángulos con los ángulos (excluido el recto) en el intervalo que se indica en cada caso.
Para ampliar el intervalo de validez, hay que aumentar el número de piezas, y no puede generalizarse con un número finito.
Ángulos A y B mayor o igual que 30 y menor o igual que 60.
30 ≤ A ≤ 60;
45 ≤ A ≤ 60; por tanto 30 ≤ B ≤ 45
Estas dos disecciones muestran gráficamente las demostraciones de Euclides y de Pappus. Con la limitación que se ha expresado anteriormente.
DEMOSTRACIONES ALGEBRAICAS.
Valiéndose de la construcción que se representa en cada caso, se han dado a lo largo de la historia excelentes y originales demostraciones, no tan visuales como las anteriores, pero si tanto o más elegantes.
Estás son algunas de las mas populares.
Pappus Ibn Qurra
Leonardo de Vinci
Garfield
Vieta
Otras demostraciones algebraicas.
Se ha dejado para el final una prueba (posiblemente desarrollada por el propio Pitágoras), que no precisa de figuras auxiliares. Es suficiente con un triángulo rectángulo.
Algunos autores, hablan de la existencia de hasta mil demostraciones diferentes del Teorema de Pitágoras. En 1927, E. S. Loomis publica The Pitagoream Proposition donde aparecen 367 pruebas.
PÁGINAS SOBRE EL TEOREMA DE PITÁGORAS.
http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm La Gacetilla Matemática dedica un amplio espacio a este teorema.
http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/pitagoras/pitagoras.htm del departamento de matemáticas del IES Maria Moliner, Valladolid. Con Animaciones en Flash muy interesantes.
http://almez.pntic.mec.es/~jdec0000/geometria_dinamica_del_triangulo/teorema_de_pitagoras.htm con applet Descartes.
http://www.utp.ac.pa/articulos/pitagoras.html
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Teorema_de_Pitagoras/Pitagoras.htm Con applet Descartes.
http://www.ctv.es/USERS/pacoga/bella/htm/pitagora.htm de la excelente página Bella Geometría.
http://www.personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri/Pit.pdf amplio e interesante documento.
Los sellos postales también rinden homenaje a Pitágoras y al teorema:
Alguna de las demostraciones y datos expuestos se han tomado de :
-GONZALEZ URBANEJA, Pedro M., Pitágoras el filósofo del número. La Matemática en sus personajes, 9. Ed. Nivola. Madrid 2001. http://www.nivola.com/categorias.asp?cat=matensuspersonajes
